Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{sinx+cosx+|{sinx-cosx}|}}{2}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）是奇函数
• B． f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上递增
• C． f（x）是周期函数
• D． f（x）的值域为[-1，1]

Answer 1

分析 去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．

解答 解：由题意可得：$f（x）=\frac{{sinx+cosx+|{sinx-cosx}|}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{cosx}&{sinx＜cosx}\\{sinx}&{sinx≥cosx}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{cosx}&{x∈（2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}）}\\{sinx}&{x∈[2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}]}\end{array}\right.$，
故A，B不正确，C正确．
当 x∈[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]时，f（x）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
当 x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]时，f（x）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
故可求得其值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，故D不正确．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，求函数的值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．