Question

20．如图，两个椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：
①P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）、E₁（0，-4）、E₂（0，4）四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y=x、y=-x均对称；
③曲线C所围区域面积必小于36．
上述判断中正确命题的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 ①，若点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）两点的距离之和为定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）两点的距离之和不为定值；
②，两个椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1关于直线y=x、y=-x均对称，曲线C关于直线y=x、y=-x均对称；
③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部．

解答 解：对于①，若点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）两点的距离之和为定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；
对于②，两个椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1关于直线y=x、y=-x均对称，曲线C关于直线y=x、y=-x均对称，故正确；
对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．
故选：C

点评 本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．