Question

15．设tan2α=$\frac{3}{4}$（-π＜α＜π），求当函数f（x）=sin（α+x）+sin（α-x）-2sinα的最小值为0时cosα的值．

Answer 1

分析 先求出角α的正切值，从而得到正弦值，再对函数f（x）进行化简可知当函数f（x）的最小值为0时，sinα＜0，进而确定角α的正弦值，最后根据同角三角函数关系式求出cosα．

解答 解：∵tan2α=$\frac{3}{4}$，（-π＜α＜π），
∴$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{4}$，
∴tanα=-3，或tanα=$\frac{1}{3}$，
当tanα=-3时，sinα=±$\frac{3}{\sqrt{10}}$，当tanα=$\frac{1}{3}$时，∴sinα=±$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
f（x）=sin（a+x）+sin（α-x）-2sinα=2sinαcosx-2sinα=2sinα（cosx-1），
当函数f（x）的最小值为0时，sinα＜0，
∴tanα=-3，sinα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
或tanα=$\frac{1}{3}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式和半角公式．三角函数部分公式比较多不容易记，对此要引起重视，一定要强化记忆．