Question

7．设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，C={x|x²-mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a、m的取值集合．

Answer 1

分析 根据题意，由已知得A={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，再由A∪B=A，知B⊆A，显见B≠∅，对B分情况讨论可得答案，由A∩C=C得C⊆A，对C分是空集、单元素集合、双元素集合三种情况讨论，易得答案．

解答 解：集合A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|x²-ax+（a-1）=0}={x|（x-1）（x-a+1）=0}，
由A∪B=A，知B⊆A，
显见B中至少有一个元素1，即B≠∅，
当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．
当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意．
∴a=2或a=3，故a的取值集合为{2，3}．
由A∩C=C得C⊆A
当C为空集时，△=m²-4＜0即-2＜m＜2，满足题意，
当C为单元素集合时，△=0，m=2或m=-2，
当m=2时，此时C={1}满足题意，当m=-2时，C={-1}，不满足题意，故m=2，
当$m=\frac{5}{2}$，则C={$\frac{1}{2}$，2}，不满足题意，
当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时不满足题意．
综上m的取值集合为{m|-2＜m≤2}．

点评 本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意集合的子集情况，特别是空集，是中档题．