Question

12．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小值为-2，且它的图象经过点（0，$\sqrt{3}$）和（$\frac{5π}{6}$，0），且函数f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上单调递增．
（I）求f（x）的解析式；
（H）若x∈[0，$\frac{5π}{8}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）依题意，易求A=2，φ=$\frac{π}{3}$；又它的图象经过点（$\frac{5π}{6}$，0），可得：$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．分点（$\frac{5π}{6}$，0）为半周期点与整周期点讨论，即可求得满足条件的函数解析式，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），最大的值点ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$⇒x=$\frac{π}{6ω}$，令 $\frac{π}{6ω}$≥$\frac{π}{6}$，可解得ω的取值范围，从而可得函数所有可能的解析式；
（Ⅱ）利用正弦函数的图象和性质，可求得f（x）的值域．

解答 解：（I）依题意知，A=2，f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，即sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）；
又它的图象经过点（$\frac{5π}{6}$，0），
∴$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
当点（$\frac{5π}{6}$，0）为半周期点时，$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=π⇒ω=$\frac{4}{5}$；
当点（ $\frac{5π}{6}$，0）为整周期点时，$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$=2π⇒ω=2．
∴满足条件的函数解析式为f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）或f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
设函数f（x）在（0，$\frac{π}{6}$]上单调递增，
∵f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
最大的值点ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$⇒x=$\frac{π}{6ω}$，
令$\frac{π}{6ω}$≥$\frac{π}{6}$，解得0＜ω≤1；
∴函数f（x）在（0，$\frac{π}{6}$]上单调递增，ω取值范围为ω∈（0，1]，
∵ω=$\frac{4}{5}$＜1满足题意，ω=2＞1不满足题意，
综上：满足题意，且在（0，$\frac{π}{6}$]上单调递增的函数解析式只有f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{5π}{8}$]，
∴$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（$\frac{4}{5}$x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查综合分析与应用能力，属于难题．