Question

17．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过原点，并交x轴于A（-6，0），抛物线的顶点B的纵坐标为-$\sqrt{3}$．
（1）求抛物线解析式，并求其顶点B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△AQ0与△AOB相似，如果存在．请求出点Q的坐标；如果不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x=0，y=0；x=-6，y=0，对称轴为x=-3，此时y=-$\sqrt{3}$，代入二次函数解析式，解方程组即可得到所求解析式，以及顶点的坐标；
（2）讨论当Q与B重合，显然成立；不重合，求得△AOB的形状，讨论Q在第一象限、第二象限，由任意角的三角函数的定义，即可求得Q的坐标，即可判断存在．

解答 解：（1）由题意可得x=0，y=0；x=-6，y=0，
对称轴为x=-3，此时y=-$\sqrt{3}$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{36a-6b+c=0}\\{9a-3b+c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
可得二次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，B（-3，-$\sqrt{3}$）；
（2）当Q与B重合，△AQ0与△AOB相似；
当Q与B不重合，由△AOB为等腰三角形，
且tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得∠AOB=30°，∠ABO=120°，
若△AQ0与△AOB相似，
当Q在第二象限时，则∠QAO=120°，且△AQO为等腰三角形，
即有|AQ|=6，Q（-6-6cos60°，6sin60°），即为Q（-9，3$\sqrt{3}$）；
当Q在第一象限时，则∠QOA=120°，且△AQO为等腰三角形，
即有|OQ|=6，Q（6cos60°，6sin60°），即为Q（3，3$\sqrt{3}$）．
综上可得，在抛物线上存在点Q，且为（-3，-$\sqrt{3}$），或（-9，-3$\sqrt{3}$），（3，3$\sqrt{3}$），
使得△AQ0与△AOB相似．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查三角形的相似，注意运用三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．