Question

已知函数f（x）=a（x²-1）-xlnx．
（I）当a=

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时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的不同取值范围对导函数的符号加以判断，只有当a≥

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时，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数，此时f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．对于0＜a＜

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2

和a≤0都不能满足当x≥1时，f（x）≥0恒成立，从而求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

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2

时，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，所以f′（x）=x-lnx-1．
函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
设g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=1-

1

x

．
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数．
函数g（x）的最小值为g（1）=0．
所以g（x）=f′（x）≥0（仅当x=1时取等号），f（x）在（0，+∞）是增函数．
（Ⅱ）由函数f（x）=a（x²-1）-xlnx，则f′（x）=2ax-lnx-1．
（1）若a≥

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2

，则由（Ⅰ）知，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数，
此时f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
（2）若0＜a＜

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2

，设h（x）=2ax-lnx-1，h′（x）=2a-

1

x

．
当x∈（1，

1

2a

）时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数．
则f′（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在（1，

1

2a

）是减函数．
这时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
（3）若a≤0时，则当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）是减函数，
此时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
综上所述，a的取值范围是[

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2

，+∞）．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．考查了利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，是中档题．