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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.且曲线的左焦点在直线上.

    （1）若直线与曲线交于两点，求的值；

    （2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    试题分析：（1）首先求出曲线的普通方程和焦点坐标, 然后将直线的参数方程代入曲线的普通方程, 利用根与系数的关系和参数的几何意义, 即可得到结果；（2）首先根据椭圆参数方程设出动点的坐标, 然后将矩形周长用三角函数表示出, 再利用三角函数的有界性求解 .

    试题解析：（1）已知曲线的标准方程为 ，则其左焦点为，则，将直线的参数方程与曲线的方程 联立，得，则.

    （2）由曲线的方程为 ，可设曲线上的动点，则以为顶点的内接矩形周长为，因此该内接矩形周长的最大值为.

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    （1）求椭圆的方程；

    （2）设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点．

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