Question

已知点到直线y=-

3

2

和点（0，2）距离之比为1
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线l 垂直于曲线9x²-16y²=1的渐近线，直线所在的函数有f′（x）＞0，且经过点（4，0）求：轨迹上的点到直线l 的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用抛物线的定义可知其轨迹是抛物线；
（2）曲线9x²-16y²=1化为

x2

1 9

-

y2

1 16

=1，其渐近线为y=±

3

4

x，由于直线l 垂直于曲线9x²-16y²=1的渐近线，直线所在的函数有f′（x）＞0，可得直线l的斜率k=

4

3

．又直线l经过点（4，0），利用点斜式可得直线l的方程为：y=

4

3

(x-4)．设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为y=

4

3

x+m．切点为M（s，t）．由抛物线方程为：x2=7(y-

1

4

)．可得y′=

2

7

x，

2

7

s=

4

3

，解出s，t，即可得出m，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）设要求的点P（x，y），∵点P到直线y=-

3

2

和点（0，2）距离之比为1，
∴点P的轨迹是抛物线，其顶点为(0，

1

4

)．
P=2-(-

3

2

)=

7

2

∴轨迹方程为：x2=7(y-

1

4

)．
（2）曲线9x²-16y²=1化为

x2

1 9

-

y2

1 16

=1，其渐近线为y=±

3

4

x，
∵直线l 垂直于曲线9x²-16y²=1的渐近线，直线所在的函数有f′（x）＞0，
∴直线l的斜率k=

4

3

．
又直线l经过点（4，0），
∴直线l的方程为：y=

4

3

(x-4)，化为4x-3y-16=0．
设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为y=

4

3

x+m．切点为M（s，t）．
由抛物线方程为：x2=7(y-

1

4

)．
可得y′=

2

7

x，
∴

2

7

s=

4

3

，
解得s=

14

3

，
∴(

14

3

)2=7(t-

1

4

)，
解得t=

847

252

，
∴

847

252

=

4

3

×

14

3

+m，解得m=-

721

252

．
∴轨迹上的点到直线l 的距离的最小值=

|-16+ 721 252 |

42+32

=

3311

1260

．

点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、双曲线的标准方程及其性质、导数的几何意义与切线的方程、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．