Question

已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上，推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由直线F2M与F2N的斜率互为相反数，可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．

【解析】
（1）由椭圆C的离心率 得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上

解得

（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为

由

消去设

则 且

（8分）

由已知，得

化简，得

（10分）

整理得

直线MN的方程为，

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） （12分）．

考点：1．椭圆的标准方程；2．恒过定点的直线；3．直线与圆锥曲线的综合问题．