Question

5．已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$=12．
（1）求角C的大小；     
（2）若边长c=2$\sqrt{19}$，求边长a和b大小．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$，可得$abcos（π-C）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×\frac{1}{2}absinC$，$tanC=-\sqrt{3}$，即可得角C的大小；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=12$，得ab=24，又c²=a²+b²-2abcosC，得a²+b²=52，
解之得边长a和b大小．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$，
∴$abcos（π-C）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×\frac{1}{2}absinC$，
∴$tanC=-\sqrt{3}$，∵C∈（0，π），∴$C=\frac{2π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=12$，∴ab=24，
又c²=a²+b²-2abcosC，得a²+b²=52，
解之得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=4}\end{array}}\right.$．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用，余弦定理的应用，向量的数量积基本计算．属于中档题．．