Question

【题目】如图， 中， 是的中点， ，将沿折起，使点到达点.

（1）求证： 平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）不存在.

【解析】试题分析：（1）在中， 是的中点， ，所以，由折叠知，故可以证明面；（2）当面面时，三棱锥的体积最大，∵面面， ，∴面，连结，在直角三角形中，由，可以求出或者的值，即可判断是否存在点。

试题解析：（1）∵且是的中点，∴，由折叠知，又∵，∴面；

（2）不存在，证明如下：

当面面时，三棱锥的体积最大，∵面面， ，∴面，

法1：连结，∵，∴面，∴即为与平面所成的角，在直角三角形中， ，∴，而中， ， ，设到直线的距离为，则由，得，∵，∴满足条件的点不存在；

法2：在直角三角形中， ， ，∴，易求得到直线的距离为，∴满足条件的点不存在.

法3：已证得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，设，则，又∵平面的法向量，依题意得， ，得，化简得， ，此方程无解，∴满足条件的点不存在.