Question

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)

（1）求的解析式;

（2）设，求证：当时，且，恒成立；

（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）存在实数，使得当时，有最小值３．

【解析】

试题分析：本题主要考查对称区间上函数解析式、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分类讨论思想、数形结合思想，考查学生的转化能力、计算能力．第一问，把所求范围转化为已知范围代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二问，先将代入到和中，构造新函数，所求证的表达式转化为，对和求导判断函数单调性，求出函数最值，代入到转化的式子中验证对错即可；第三问，先假设存在最小值3，对求导，分情况讨论a，通过是否在区间内讨论a的4种情况，分别判断函数的单调性，且数形结合求出函数最值，令其等于3，解出a的值．

（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以

故函数的解析式为 2分

（2）证明：当且时，

，设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

所以当时，即 6分

（3）【解析】
假设存在实数，使得当时，有最小值是3，

则

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，

，不满足最小值是３

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，

，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）

（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．

所以，解得

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３ 12分

考点：对称区间上函数解析式、利用导数求函数最值、恒成立问题．