Question

15．已知函数$f（x）=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）+1$
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）对于函数$f（x）=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）+1$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，
可得f（x）的单调递增区间为[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（2）当x∈[0，2π]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴f（x）∈[0，$\sqrt{2}$+1]．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．