Question

已知函数f（x）=2x+sinx，x∈（-1，1），若f（1-m）+f（1-m²）＜0，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
函数的导数f′（x）=2+cosx＞0，则函数f（x）单调递增，
则不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0等价为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
则

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，
即

0＜m＜2 0＜m2＜2 m2+m-2＞0

，
则

0＜m＜2 0＜m＜ 2 或- 2 ＜m＜0 m＞1或m＜-2

，
解得1＜m＜2，
故答案为：（1，2）

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．