Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=-2，cosB=-

2

3

，b=

14

，求
（1）a和c的值；
（2）cos（A-C）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的定义，结合余弦定理，解a，c的方程，即可求得a，c；
（2）运用余弦定理，求得cosA，cosC，再求sinA，sinC，再由两角差的余弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由

BA

•

BC

=-2，得cacosB=-2，
cosB=-

2

3

，b=

14

，则有ac=3，
b²=a²+c²-2accosB，即有14=a²+c²+4，
由于a＞c，解得，a=3，c=1；
（2）由于a=3，b=

14

，c=1，
则cosA=

14+1-9

2 14

=

3

14

，cosC=

9+14-1

2×3 14

=

11

3 14

，
sinA=

1- 9 14

=

5

14

，sinC=

1- 121 9×14

=

5

3 14

，
则有cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC
=

3

14

×

11

3 14

+

5

14

×

5

3 14

=

19

21

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理和两角差的余弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．