Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C的大小为60°．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连BD，由已知得AD⊥BQ，AD⊥PQ，从而AD⊥平面PQB，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M在PC上，且PM=

1

3

PC．

解答： （1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，Q为AD中点．
∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，
QP为z轴，建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），B（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），

QB

=(0，

3

，0)，

PC

=（-2，

3

，-

3

），
设M（a，b，c），

PM

=λ

PC

=(-2λ，

3

λ，-

3

λ)，0＜λ＜1，
则M（-2λ，

3

λ，

3

-

3

λ），

QM

=（-2λ，

3

λ，

3

-

3

λ），
设平面BQM的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • QM =-2λx+ 3 λy+( 3 - 3 λ)z=0 n • QB = 3 y=0

，
取z=1，得

n

=（

3 - 3 λ

2λ

，0，1），
由已知得平面BQC的法向量

m

=（0，0，1），二面角M-BQ-C的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=

1

( 3 - 3 λ 2λ )2+1

=

1

2

，
解得λ=

1

3

，
∴M在PC上，且PM=

1

3

PC．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要注意向量法的合理运用．