Question

有下列命题：
①关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
②已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p：存在x∈R，使得sinx＞1；
③函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
④函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①当a≠0时，由△=0，解得a=-1，而a=0不满足题意，即可判断出；
②利用命题的否定即可判断出；
③利用诱导公式可得函数y=

1

2

cos2x，即可得出相邻两个对称中心的距离为

π

2

；
④函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，因此函数的图象关于点（1，1）对称．

解答： 解：①关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1，正确，当a≠0时，由△=0，解得a=-1，而a=0不满足题意；
②命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p：存在x∈R，使得sinx＞1，正确；
③函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x的图象中，∴相邻两个对称中心的距离为

π

2

，因此不正确；
④函数y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，因此函数的图象关于点（1，1）对称，因此不正确．
其中所有真命题的序号是①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．