Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为AA₁和BB₁的中点，那么直线CM与D₁N所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：取C₁C的中点P，连接A₁P，将MC平移到A₁P，根据异面直线所成角的定义可知∠A₁OD₁是异面直线CM与D₁N所成的角，在三角形A₁OD₁中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答： 解：取C₁C的中点P，连接A₁P
∵A₁M∥CP，且A₁M=/CP，
∴四边形A₁MCP是平行四边形
∴A₁P∥MC，则∠A₁OD₁是异面直线CM与D₁N所成的角
∵正方体的棱长为1，
∴A₁P=MC=

AC2+AM2

=

2+ 1 4

=

9 4

=

3

2

，D₁O=A₁O=

3

4

cos∠A₁OD₁=

( 3 4 )2+( 3 4 )2-1

2× 3 4 × 3 4

=

1

9

，
即直线CM与D₁N所成角的余弦值是

1

9

故答案为：

1

9

点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．