Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N^*），数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，且b₂=2，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求T₁₀₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于点（a_n，a_n+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N^*），可得a_n+1=a_n+1，利用等差数列的通项公式即可得出．数列{b_n}为等比数列，设公比为q，由于b₂=2，
b₄=8，可得b₄=b₁q³=8，b₁q=2．解出即可．
（II）数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n=（-1）ⁿn+2^n-1，可得T₁₀₀=（-1+2-3+4+…+100）+（1+2+2²+…+2⁹⁹），利用分组求和与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵点（a_n，a_n+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₂=2，b₄=8，
∴b₄=b₁q³=8，b₁q=2．
b_n＞0，
∴b₁=1，q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n=（-1）ⁿn+2^n-1，
∴T₁₀₀=（-1+2-3+4+…+100）+（1+2+2²+…+2⁹⁹）
=50+

2100-1

2-1

=50+2¹⁰⁰-1
=22¹⁰⁰+49．

点评：本题考查了“分组求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．