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对定义在区间上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意的,都有,且对任意的都有恒成立,则称函数为区间上的“型”函数.
(1)求证:函数上的“型”函数;
(2)设是(1)中的“型”函数,若不等式对一切的恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数是区间上的“型”函数,求实数的值.

(1)详见解析;(2);(3)

解析试题分析:(1)根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数,可作出函数的图象,不难发现当时,;当时,,由此可易得证; (2)由(1)中的函数不难求出函数的最小值,这们即可将问题转化为求恒成立,这是一个关于的含有绝对值的不等式,去掉绝对值可得,然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集; (3)根据题中“型”函数的定义,则可假设存在闭区间和常数,使得对任意的,都有,这样即可得到一个恒等式,即对任意恒成立,则对应系数分别相等,即可求出对应的,注意要回代检验一下,判断其余的是否均大于这个最小值.
试题解析:(1)当时,;当时,
∴ 存在闭区间和常数符合条件.                        4分
(2)对一切的恒成立,
,                        6分
解得 .                                                    10分
(3)存在闭区间和常数,使得对任意的
都有,即
对任意恒成立
                              12分
① 当时,
时,
,即时,
由题意知,符合条件;                                     14分
②当时,  
不符合要求;                                          16分
综上,
考点:1.新定义题;2.分段函数的处理;3.函数的最值

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数(其中是实数常数,
(1)若,函数的图像关于点(—1,3)成中心对称,求的值;
(2)若函数满足条件(1),且对任意,总有,求的取值范围;
(3)若b=0,函数是奇函数,,且对任意时,不等式恒成立,求负实数的取值范围.

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设函数为常数
(1)求的最小值的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整数,使得对于任意均成立,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

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是定义在上的函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明:是其定义域上的增函数.

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已知函数.
(I)若函数为奇函数,求实数的值;
(II)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

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已知,函数,记
(Ⅰ)求函数的定义域及其零点;
(Ⅱ)若关于的方程在区间内仅有一解,求实数的取值范围.

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已知函数是奇函数,且.
(1)求实数的值;
(2)判断函数上的单调性,并用定义加以证明.

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已知函数是定义在上的偶函数,当时,
(1)求的函数解析式,并用分段函数的形式给出;
(2)作出函数的简图;
(3)写出函数的单调区间及最值.

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已知函数).
(1)求的单调区间;
(2)如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
(3)讨论关于的方程的实根情况.

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