Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞

2

）的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x²+（y-2）²=1上任意一点，求PQ的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用e=

6

3

=

c

a

，b²=2，a²=b²+c²．解出即可．
（2）由圆E：x²+（y-2）²=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，可得|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．设P（x₁，y₁）是椭圆C上的任意一点，可得

x

2 1

=6-3

y

2 1

．于是|EP|²=-2(y1+1)2+12．由于y1∈[-

2

，

2

]，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵e=

6

3

=

c

a

，又b²=2，a²=b²+c²．
解得a²=6．
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由圆E：x²+（y-2）²=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，
∴|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．
设P（x₁，y₁）是椭圆C上的任意一点，
则

x 2 1

6

+

y 2 1

2

=1，即

x

2 1

=6-3

y

2 1

．
∴|EP|²=

x

2 1

+(y1-2)2=6-3

y

2 1

+(y1-2)2=-2(y1+1)2+12．
∵y1∈[-

2

，

2

]，∴当y₁=-1时，|EP|²取得最大值12，即|PQ|≤2

3

+1．
∴|PQ|的最大值为2

3

+1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．