Question

如图，正方形A₁BA₂C的边长为4，D是A₁B的中点，E是BA₂上的点，将△A₁DC及△A₂EC分别沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）法1，利用线面垂直的性质证明DE⊥面ACD，即可证明AC⊥DE；法2：建立坐标系，利用向量法进行证明．
（Ⅱ）求出平面的法向量，根据向量之间的关系即可求二面角A-DE-C的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）法1：∵A₁，A₂重合于A，
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE，
∴AC⊥DE，由于A-DC-E为直二面角，
过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE
∴AF⊥DE，AC∩AF=A
∴DE⊥面ACD，
∵AC?面ACD，
∴AC⊥DE，
法2：分别以AD，AE，AC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
D（2，0，0），E（0，2，0），C（0，0，4）
（1）∵

ED

=(2，-2，0)，

AC

=(0，0，4)，
∴

ED

•

AC

=2×0-2×0+0×4=0，
∴AC⊥DE
（Ⅱ）

EC

=(0，-2，4)，设平面DCE的法向量为

n1

=（x，y，z），
∴由

ED • n1 =2x-2y=0 EC • n1 =-2y+4z=0

，
令z=1，则x=y=2，即

n1

=（2，2，1），
又AC⊥平面ADE，
∴平面ADE的法向量为

n2

=(0，0，1)，
∴二面角A-DE-C的余弦值为cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2×0+2×0+1×1

22+22+12•1

=

1

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的大小，直线与平面垂直的性质，熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的转化及线面夹角的定义是解答本题的关键．