Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M(

π

6

，

3

2

)．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的最大值为1，得到A的值为1，将A的值代入函数解析式，又图象经过M点，把M的坐标代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值列出关于φ的方程，求出方程的解即可得到φ的值；
（Ⅱ）把第一问求出的A和φ的值代入确定出函数解析式，根据正弦函数的单调区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（Ⅲ）把第一问求出的函数解析式变形，再根据平移规律：左加右减，可得第一问确定出的函数的图象向右平移

π

6

个单位，得到y=sin2x，且函数为奇函数，满足题意．

解答：解：（Ⅰ）依题意得：A=1，由其图象经过点M(

π

6

，

3

2

)，
∴sin(

π

3

+φ)=

3

2

，（1分）
∴

π

3

+φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，或

π

3

+φ=2kπ+

2π

3

，k∈Z，（3分）
∵0＜φ＜π，
∴由φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，得φ=

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴f（x）的单调递增区间满足2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z（6分）
∴f（x）的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+

π

3

)=sin2(x+

π

6

)，
∴可将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，得到y=sin2x，且该函数为奇函数．（12分）

点评：此题考查了y=Asin（ωx+φ）解析式的确定及图象的平移变换，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，其中确定出已知三角函数的解析式是解本题的关键．