Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=2{n^2}+n$，n∈N^*，在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+3，n∈N^*．
（1）求证：{b_n+3}是等比数列；
（2）若c_n=log₂（b_n+3），求数列$\{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}\}$的前n项和R_n；
（3）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的定义即可得出．
（2）利用对数的运算性质、裂项求和方法即可得出．
（3）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，综上 a_n=4n-1，可得：${a_n}{b_n}=（4n-1）•（{2^{n+1}}-3）=（4n-1）•{2^{n+1}}-3（4n-1）$，再利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{{{b_{n+1}}+3}}{{{b_n}+3}}=\frac{{2{b_n}+3+3}}{{{b_n}+3}}=2$且b₁+3=4，
∴{b_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列
（2）由（1）知 ${b_n}+3=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$
所以 ${b_n}={2^{n+1}}-3$
则c_n=log₂（b_n+3）=n+1，
$\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
${R_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
（3）n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1
综上 a_n=4n-1，
${a_n}{b_n}=（4n-1）•（{2^{n+1}}-3）=（4n-1）•{2^{n+1}}-3（4n-1）$，
设数列{（4n-1）•2ⁿ⁺¹}的前n项和为A_n．
则A_n=3•2²+7•2³+11•2⁴+…+（4n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=3•2³+7•2⁴+…+（4n-5）•2ⁿ⁺¹+（4n-1）•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=12+4×（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（4n-1）•2ⁿ⁺²=$4×\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4-（4n-1）•2ⁿ⁺²，
∴A_n=（4n-5）•2ⁿ⁺²-20．
数列{3（4n-1）}的前n项和为：3×$\frac{n（3+4n-1）}{2}$=6n²+3n．
∴${T_n}=（4n-5）•{2^{n+2}}+20-6{n^2}-3n$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义、对数的运算性质、裂项求和方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．