Question

2．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，点E是PD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）当二面角E-AC-D的大小为45°时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥PA，AB⊥AC，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．
（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP．

解答 证明：（1）∵在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥PA，
∵BC=2AB═4，∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AP=t，则P（0，0，t），D（2$\sqrt{3}$，2，0），E（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），C（2$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+y+\frac{t}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角E-AC-D的大小为45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$，
解得t=2．∴AP=2．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．