Question

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

cosA

cosB

=

2c-a

b

．
（1）求角B；
（2）若a+c=3

3

，S_△ABC=

3 3

2

，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由

cosA

cosB

=

2c-a

b

，利用正弦定理可得

cosA

cosB

=

2sinC-sinA

sinB

，化为sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，cosB=

1

2

，即可解出．
（2）由S_△ABC=

3 3

2

=

1

2

acsinB=

1

2

acsin

π

3

，可得ac=6，再利用余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵

cosA

cosB

=

2c-a

b

，由正弦定理可得

cosA

cosB

=

2sinC-sinA

sinB

，
化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB，
∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，
∵sinC≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（2）∵S_△ABC=

3 3

2

=

1

2

acsinB=

1

2

acsin

π

3

，∴ac=6，
又a+c=3

3

，
∴b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accos

π

3

=(3

3

)2-3×6=9，
解得b=3．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．