Question

2．（理）从P出发的三条射线PA，PB，PC每两条夹角成60°，则二面角B-PA-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，作出二面角B-PA-C的平面角，设PE=a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．

解答 解：如图，

在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E作EG⊥PA交PC于G，
连接GF，设PE=a，在Rt△PEG中，∵∠EPG=60°，∴PG=2a，GE=$\sqrt{3}a$，
同理求得PF=2a，EF=$\sqrt{3}a$，则GF=2a，
在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG=$\frac{（\sqrt{3}a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}-4{a}^{2}}{2\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}=\frac{2{a}^{2}}{6{a}^{2}}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．