Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若函数在处取得极值，求实数的值；

（2）在（1）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值；

（3）令，若关于的方程在内至少有两个解，求出实数的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) ;(2);(3) 实数的范围是.

【解析】

分析：（1）根据求得；（2）由题意结合分离参数可得对恒成立，构造函数，，利用导数可得，故得,又，所以得到．

（3）由题意，令，构造函数，则由题意得可得方程在区间上只少有两个解．然后分类讨论可得实数的范围是．

详解：（1）∵，

∴，

又函数在处取得极值，

∴，解得．

经验证知满足条件，

∴．

（2）当时，，

∴．

由题意得对恒成立，

∴对恒成立．

令，，

则，

∴在上单调递增，

∴，

∴,

又，

∴．

（3）由题意得，

令，设

则方程在区间上只少有两个解，

又，

∴方程在区间上有解，

由于，

①当时，，函数在上是增函数，且，

∴方程在区间上无解；

②当时，，同①可得方程无解；

③当时，函数在上递增，在上递减，且，

要使方程在区间上有解，则，即，

∴；

④当时，函数在上递增，在上递减，且，

此时方程在内必有解；

⑤当时，函数在上递增，在上递减，且，

∴方程在区间内无解．

综上可得实数的范围是.