Question

设向量

a

=(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)，且

a

与

b

不共线，
（Ⅰ）求证：

a

+

b

⊥

a

-

b

；
（Ⅱ）若向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等，求角α．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得

a

+

b

和

a

-

b

的坐标，作数量积可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，可得垂直；（Ⅱ）由题意可得（

3

a

+

b

）²=（

a

-

3

b

）²，又可得|

a

|=|

b

|=1，代入可得

a

•

b

=0，由三角函数的知识结合α的范围可得．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

a

+

b

=（cosα-

1

2

，sinα+

3

2

），

a

-

b

=（cosα+

1

2

，sinα-

3

2

），
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=cos²α-

1

4

+sin²α-

3

4

=0
∴

a

+

b

⊥

a

-

b

；
（Ⅱ）∵向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等，
∴（

3

a

+

b

）²=（

a

-

3

b

）²，
∴

a

2-

b

2+2

3

a

•

b

=0，
又∵|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，
∴1-1+2

3

a

•

b

=0，解得

a

•

b

=0，
∴-

1

2

cosα+

3

2

sinα=0，
∴tanα=

3

3

，又0≤α＜2π，
∴α=

π

6

，或

7π

6

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及向量的模长和三角函数，属中档题．