Question

20．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点$P（\frac{{2\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{39}}}{13}）$在椭圆C上，且OP⊥AF．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知点P的坐标可得OP所在直线的斜率，再由AF⊥OP，得到b，c的关系，再由P在椭圆上，结合隐含条件即可求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=1，此时d=1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m（m≠±1），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0及$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，可得k与m的关系，进一步得到m的范围，由点到直线的距离公式求出椭圆右顶点D到直线l距离，换元后利用基本不等式求得答案．

解答 解：（1）∵点$P（\frac{{2\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{39}}}{13}）$，∴${k_{OP}}=\sqrt{3}$，
又∵AF⊥OP，∴$-\frac{b}{c}×\sqrt{3}=-1$，得$c=\sqrt{3}b$，∴a²=4b²．
又点$P（\frac{{2\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{39}}}{13}）$在椭圆上，
∴$\frac{{\frac{4}{13}}}{a^2}+\frac{{\frac{12}{13}}}{b^2}=\frac{{\frac{4}{13}}}{{4{b^2}}}+\frac{{\frac{12}{13}}}{b^2}=\frac{13}{{13{b^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=1，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=1，此时d=1．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m（m≠±1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，得4k²-m²+1＞0，①
由根与系数的关系：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{4{k^2}+1}}}\end{array}}\right.$，
由$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2⇒（{x_1}+{x_2}）=2{x_1}{x_2}⇒\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}=2\frac{{4（{m^2}-1）}}{{4{k^2}+1}}$，
即：$km=1-{m^2}⇒k=\frac{1}{m}-m（≠0）$，②
把②式代入①式得：${m^2}＞\frac{4}{3}$或0＜m²＜1，
椭圆右顶点D（2，0）到直线l的距离：
$d=\frac{{|{2k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{\frac{2}{m}-m}|}}{{\sqrt{\frac{1}{m^2}+{m^2}-1}}}=\frac{{|{2-{m^2}}|}}{{\sqrt{{m^4}-{m^2}+1}}}$=$\sqrt{\frac{{{m^4}-4{m^2}+4}}{{{m^4}-{m^2}+1}}}=\sqrt{1-\frac{{3（{m^2}-1）}}{{{m^4}-{m^2}+1}}}$，
令${m^2}-1=t∈（-1，0）∪（\frac{1}{3}，+∞）$，
则$d=\sqrt{1-\frac{3t}{{{t^2}+t+1}}}=\sqrt{1-\frac{3}{{t+\frac{1}{t}+1}}}∈[0，1）∪（1，2）$，
综上可知：d∈[0，2）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．