Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点的坐标为F（

2

，0），且长轴长是短轴长的

2

倍．
（1）求椭圆C的方程；  
（2）直线y=x-1与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|； 
（3）设P是椭圆C上的任意一点，MN是圆D：x²+（y-3）²=1的任意一条直径，求

PM

•

PN

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知条件得c=

2

，a=

2

b，由此能求出椭圆的方程．
（2）由

y=x-1 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-4x-2=0，由此利用椭圆弦长公式能求出|AB|．
（3）设P（x₀，y₀），则x02=4-2y02，

PM

•

PN

=x02+(y0-3)2-1，由此能求出

PM

•

PN

的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵一个焦点的坐标为F（

2

，0），且长轴长是短轴长的

2

倍，
∴c=

2

，a=

2

b，∴b=c=

2

，a=2
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．…（3分）
（2）由

y=x-1 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-4x-2=0，△=40＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4

3

，x₁x₂=-

2

3

，
∴|AB|=

1+1

•|x1-x2|=

2

•

( 4 3 )2-4•(- 2 3 )

=

4 5

3

．…（8分）
（3）设P（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02=4-2y02，

PM

•

PN

=（

DM

-

DP

）•（

DN

-

DP

）
═（

DM

-

DP

）•（-

DM

-

DP

）
=

DP

2-

DM

2
=x02+(y0-3)2-1
=4-2y02+(y0-3)2-1
=-（y0 +3）²+21，…（11分）
∵y₀∈[-

2

，

2

]，
∴当y₀=-

2

时，

PM

•

PN

取得最大值10+6

2

．．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．