Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差数列，且AB=4，D点是斜边BC上一动点，连接AD，以AD为折痕，将△ABD折到与△ADC的同一个平面内，B变为B₁，设∠BAD=θ．
（1）求BD的长；
（2）求B₁C的最小值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）根据Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差数列，可得∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°，利用正弦定理，可求BD的长；
（2）求出∠B₁BC，由三角形性质知，边所对应角最小时，边长最小，故当∠B₁BC=θ-30°=0时，即可求B₁C的最小值．

解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差数列，
∴2∠ABC=∠BAC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°
又∵AB=4，∠BAD=θ
∴根据正弦定理

4

sin(180°-60°-θ)

=

BD

sinθ

即BD=

4sinθ

sin(120°-θ)

，
（2）以AD为折痕，将△ABD折到与△ADC到同一个平面内，则AB=AB₁，∠BAD=∠B₁AD=θ
∴∠B₁BC=

60°-(180°-2θ)

2

=θ-30°
由三角形性质知，边所对应角最小时，边长最小，故当∠B₁BC=θ-30°=0时，B₁C最小
即θ=30°
可知AD⊥BC，BD=2
则BB₁=4，得出B₁C=BC-BB₁=4，
∴B₁C的最小值为4．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．