Question

已知椭圆的离心率为，为椭圆在轴正半轴上的焦点，、两点在椭圆上，且，定点.

（1）求证：当时；

（2）若当时有，求椭圆的方程；

（3）在（2）的椭圆中，当、两点在椭圆上运动时，试判断 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时、两点所在直线方程，若不存在，给出理由.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）（3）存在，最大值为，直线方程为，或

【解析】

试题分析：（1）设，从而可得各向量的坐标。当时，可得与，与间的关系。将点代入椭圆方程，结合与，与间的关系可得，即（2）当时由（1）知且故可设。根据和及解方程组可求得的值。（3）根据向量数量积公式及三角形面积公式分析可知。设直线的方程为，与椭圆方程联立消去 整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。从而可用表示。用配方法求最值。注意讨论直线斜率不存在和斜率为0两种特殊情况。

（1）设，则，

当时，，

由M，N两点在椭圆上，

若，则舍，

（2）当时，不妨设

又，

，椭圆C的方程为

（3），

设直线的方程为

联立，得，

记 ，

则

，当，即时取等号 ．

并且，当k=0时，

当k不存在时

综上有最大值，最大值为

此时，直线的方程为，或

考点：1向量的数量积；2椭圆的简单几何性质及方程；3直线与椭圆的位置关系。