【题目】设椭圆
的离心率为
，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点
作直线
与E交于A，B两点，O为坐标原点，求
面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
面积的最大值为
，此时直线
的方程为：
.
【解析】
（1）利用椭圆四个顶点构成的四边形面积、离心率和椭圆
关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线
斜率不存在时，易求得
；②当直线斜率存在时，假设直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得
，利用点到直线距离公式求出
，从而得到，利用函数求最值的方法可求得的范围；综合两种情况可得最终结果.
（1）
以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为
，
，
即
…①，又
…②，
…③，
则①②③联立可求得：
，
，
，
椭圆
的方程为：.
（2）①当直线斜率不存在时，则方程为，
，
；
②当直线斜率存在时，可设其方程为：
，由题意可知：
，
由
得：
，
设
，
，则
，
，
，
又原点到直线距离
，
，
令
，则
，
，
，
，
，
，
综上所述：面积的最大值为，此时直线的方程为：.
考前必练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法错误的是（ ）
A. 甲投篮命中次数的众数比乙的小
B. 甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C. 甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D. 甲投篮命中的成绩比乙的稳定
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第
个月从事旅游服务工作的人数
可近似地用函数
来刻画，其中正整数表示月份且
，例如
表示1月份，
和
是正整数，
，
. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）试根据已知信息，求的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】给定函数
和
，若存在常数
，
，使得函数和对其公共定义域
的任何实数
分别满足
和
，则称直线
：
为函数和的“隔离直线”，给出下列四组函数：
（1）
，
； （2）
，
；
（3）
，
； （4）
，
；
其中函数和存在“隔离直线”的序号是（ ）
A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为
，求
的分布列与数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了调查某大学学生的某天上网的时间，随机对
名男生和名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟） |
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人数 |
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表2：女生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟） |
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人数 |
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（1）用分层抽样在
选取
人，再随机抽取
人，求抽取的人都是女生的概率；
（2）完成下面的
列联表，并回答能否有
的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
上网时间少于 | 上网时间不少于 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附：
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆M：
与
轴相切．
(1)求
的值；
(2)求圆M在
轴上截得的弦长；
(3)若点
是直线
上的动点，过点作直线
与圆M相切，
为切点，求四边形
面积的最小值．
【答案】(1) 
(2) 
(3) 
【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令
，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.
试题解析：(1) 
∵圆M：
与轴相切
∴
∴
(2) 令，则
∴
∴
(3) 
∵
的最小值等于点
到直线的距离，
∴
∴
∴四边形面积的最小值为．
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】在平面直角坐标系
中，圆
的方程为
，且圆
与
轴交于
， 
两点，设直线
的方程为
．
（1）当直线
与圆
相切时，求直线
的方程；
（2）已知直线
与圆
相交于
， 
两点．
（ⅰ）若
，求实数
的取值范围；
（ⅱ）直线
与直线
相交于点
，直线
，直线
，直线
的斜率分别为
， 
， 
，
是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】
是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解
市空气质量情况，从
年每天的值的数据中随机抽取
天的数据，其频率分布直方图如图所示.将值划分成区间
、
、
、
，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率 .
（1）根据年的数据估计该市在
年中空气质量为一级的天数；
（2）按照分层抽样的方法，从样本二级、三级、四级中抽取
天的数据，再从这个数据中随机抽取
个，求仅有二级天气的概率.
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