Question

【题目】已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ．

∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即 ，解得a=0．

又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立

（2）解：∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，

∴f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．

①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，

∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为 ．

∵a＞0， ，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．

由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得 ．

∵a＞0，∴ ．

综上所述，a的取值范围为

【解析】（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．