练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    14．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x-2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
    （1）求抛物线E的方程
    （2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$（其中O为坐标原点）
    ①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标
    ②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

    分析 （1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；
    （2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；
    ②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．

    解答 （1）解：由已知可得K（-$\frac{p}{2}$，0），圆C：（x-2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．
    设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
    于是|CR|=$\sqrt{M{C}^{2}-M{R}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
    即有|CK|=$\frac{|MC|}{sin∠MKC}$=$\frac{|MC|}{sin∠CMR}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3，
    即有2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；
    （2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y1），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y2），
    联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0，
    y1+y2=4m，y1y2=-4t，
    $\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$，即有（$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$）2+y1y2=$\frac{9}{4}$，
    解得y1y2=-18或2（舍去），
    即-4t=-18，解得t=$\frac{9}{2}$．
    则有AB恒过定点Q（$\frac{9}{2}$，0）；
    ②解：由①可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y2-y1|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+72}$，
    同理|GD|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$|y2-y1|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+72}$，
    则四边形AGBD面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|GD|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+72}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+72}$
    =4$\sqrt{（2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}））（85+18（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}））}$，
    令m2+$\frac{1}{{m}^{2}}$=μ（μ≥2），则S=4$\sqrt{18{μ}^{2}+121μ+170}$是关于μ的增函数，
    则当μ=2时，S取得最小值，且为88．
    当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．

    点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，向量的数量积的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    4．y=$\frac{{x}^{2}+13}{\sqrt{{x}^{2}+9}}$的最小值为$\frac{13}{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    5．若3sinθ=cosθ，则cos2θ+sin2θ的值等于（　　）
    A．-$\frac{7}{5}$B．$\frac{7}{5}$C．-$\frac{3}{5}$D．$\frac{3}{5}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    2．若点M在△ABC的边AB上，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{CM}$=（　　）
    A．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$B．2$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$C．$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$D．$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．“-1＜c＜1”是“直线x+y+c-0与圆x2+y2=1相交”的（　　）
    A．充分非必要条件B．必要非充分条件
    C．充分必要条件D．非充分非必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    19．在正项等比数列{an}中，若a1=1，且3a3，a2，2a4成等差数列，则log2（a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7）=（　　）
    A．-28B．-21C．21D．28

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    6．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为74．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．对数不等式（1+log3x）（a-log3x）＞0的解集是$（{\frac{1}{3}，9}）$，则实数a的值为2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）=（　　）
    A．$\frac{2}{3}$B．$\frac{5}{9}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{3}$

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案