Question

【题目】设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记

（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素

（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为.

【解析】

（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解.

(Ⅰ)满足的元素为

（Ⅱ）记，，

注意到，所以，

所以

因为，所以

所以中有个量的值为1，个量的值为0.

显然

，

当，时，

满足，.所以的最大值为

又

注意到只有时，，否则

而中个量的值为1，个量的值为0

所以满足这样的元素至多有个，

当为偶数时，.

当时，满足，且.

所以的最小值为

当为奇数时，且，这样的元素至多有个，

所以.

当，时，满足，.

所以的最小值为

综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.

（Ⅲ）中的元素个数最大值为

设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个

记 ，

显然

集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个

，则

则中至少存在两个元素

，

因为，所以不能同时为

所以对中的一组数而言，

在集合中至多有一个元素满足同时为

所以集合中元素个数不超过个

所以集合中的元素个数为至多为 .

记 ，则中共个元素，

对于任意的，，.

对，记其中，，

记，

显然，，均有.

记，中的元素个数为，且满足，，均有.

综上所述，中的元素个数最大值为.