【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
,
,
分别为棱
,
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为
?如果存在,求出线段
的长;如果不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)点
存在,即
的中点,
.
【解析】
(1)以为原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,求出
和平面
的法向量为
,得
,进而证出结论;
(2)求出平面的法向量为
,平面
法向量
,得
,进而得出结论;
(3)设,利用直线
与平面
所成的角为
,结合向量夹角公式列出关于
的方程解出即可.
(1)在直三棱柱中,
平面
,又因为
,
以为原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
.
由题意得,,
,
,
,
.
所以,
,设平面
的法向量为
,则
,即
,令
,得
,
,于是
.
又因为,所以
.又因为
平面
,
所以平面
.
(2)设平面的法向量为
,
,
,
,即
,令
,得
,
,于是
,
平面法向量
,
.
所以二面角的大小为
.
(3).设直线与平面
所成角为
,则
,设
,则
,
,
所以,解得
或
(舍),
所以点存在,即
的中点,
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
.
(1)若曲线的参数方程为
(
为参数),求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线的参数方程为
(
为参数),
,且曲线
与曲线
的交点分别为
、
,求
的取值范围.
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【题目】已知(
,
为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数
在
内单调递增或单调递减;②如果存在区间
,使函数
在区间
上的值域为
,那么称
,
为闭函数;
请解答以下问题:
(1) 求闭函数符合条件②的区间
;
(2) 判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)若是闭函数,求实数
的取值范围;
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【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
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【题目】p:关于x的方程无解,q:
(
)
(1)若时,“
”为真命题,“
”为假命题,求实数a的取值范围.
(2)当命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,求实数m的取值范围.
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【题目】在高一某班的元旦文艺晚会中,有这么一个游戏:一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片,每张卡片上写有一个成语,它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河,从盒内随机抽取2张卡片,若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖,则该游戏的中奖率为________.
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【题目】2017年10月18日至10月24日,中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”
在北京召开
一段时间后,某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名员工的成绩都在
内,按成绩分成5组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习.
求这100人的平均得分
同一组数据用该区间的中点值作代表
;
求第3,4,5组分别选取的作深入学习的人数;
若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习,之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
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