Question

5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数．
（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为

 

；
（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学已经循环报数到第

 

个数．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列．寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力．首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了．

解答： 解：（1）由题意可知：①将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
②该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．
③甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．
④问题可化为求数列{4n}与{5n-4}的共同部分数，
甲同学拍手的次数为看，那么n=20k-4，应该是20的倍数减去4那一次，设甲拍手的次数为k次，
则n=20k-4
∴20k-4≤20．
∴k≤1
∴甲拍手的总次数为1次．即第16次报数时拍手．
（2）由（1）可知n=20k-4=20×10-4=196．
故答案为：1，196

点评：本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用