Question

20．已知$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cos（\frac{π}{2}-β），sin（\frac{π}{2}-β））$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3sin（α-β）$，则$\frac{tanα}{tanβ}$=2．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3sin（α-β）$，可得4cosα•sinβ=2sinα•cosβ⇒2tanβ=tanα⇒$\frac{tanα}{tanβ}$=2

解答 解：∵$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cos（\frac{π}{2}-β），sin（\frac{π}{2}-β））$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3sin（α-β）$
∴cosα•cos（$\frac{π}{2}-β$）+sinα$•sin（\frac{π}{2}-β）$=3sin（α-β），
⇒cosα•sinβ+sinα•cosβ=3sin（α-β）=3sinα•cosβ-3cosα•sinβ
⇒4cosα•sinβ=2sinα•cosβ
⇒2tanβ=tanα
⇒$\frac{tanα}{tanβ}$=2
故答案为：2

点评 本题考查了向量的数量积运算，三角恒等变形，属于中档题．