【题目】已知椭圆过点
,且短轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作
轴的垂线
,设点
为第四象限内一点且在椭圆
上(点
不在直线
上),点
关于
的对称点为
,直线
与椭圆
交于另一点
.设
为坐标原点,判断直线
与直线
的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,在直三棱柱中,
,四边形
是边长为6的正方形,直线
与平面
所成的角的正切值为3,点
为棱
上的动点,且
.
(1)当为何值时,
平面
?
(2)当时,求二面角
的正切值.
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【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标
)、建模(能力指标
)的相关性,并将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养;若
,则数学核心素养为一级;若
,则数学核心素养为二级;若
,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:
学生编号 | ||||||||||
(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;
(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为
,记随机变量
,求随机变量
的分布列及其数学期望.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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【题目】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为偶数的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为
,求
的概率.
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【题目】口袋里装有编号为1,2,3,4的四个小球,有放回的抽取两次,记录两次取到小球的编号分别为,
.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】已知
(1)求的轨迹
(2)过轨迹上任意一点
作圆
的切线
,设直线
的斜率分别是
,试问在三个斜率都存在且不为0的条件下,
是否是定值,请说明理由,并加以证明.
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【题目】设椭圆的一个顶点与抛物线
的焦点重合,
,
分别是椭圆
的左、右焦点,离心率
,过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设点是一个动点,若直线
的斜率存在,且
为
中点,
,求实数
的取值范围.
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