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    如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

    (1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

    (2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.


     (1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,

    所以∠DBC=∠EFA.

    因为B,E,F,C四点共圆,

    所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

    所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

    (2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

    所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

    由DB=BE,有CE=DC.

    又BC2=DB·BA=2DB2,

    所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

    而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

    故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.


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