Question

【题目】已知

（Ⅰ）列表求在的所有极值；

（Ⅱ）当时，

（i）求证：；

（ii）若恒成立，求的取值范围

Answer 1

【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；

（Ⅱ）（i）构造辅助函数，把问题转化为求时， ，

（ii）构造辅助函数，把问题转化为求时，，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；

（Ⅰ）因为，所以 ，

，，的变化关系如下表：

	递增	极大值	递减		递增

所以函数的极大值为，极小值为.

（Ⅱ）（i）令

，

令，则对恒成立，

在上是增函数，则，

恒成立，在上为增函数，

；

（ii）令

要使恒成立，只需当时，，

，

令，由（i）得，

①当时，恒成立，在上为增函数，

，满足题意；

②当时，上有实根，在上是增函数，

则当时，，不符合题意；

③当时，恒成立，在上为减函数，

不符合题意，即．