Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求证：

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

与

a

-k

b

的长度相等，求证：tanα•tanβ=-1（k为非零常数）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先计算

a

+

b

与

a

-

b

的积，如果等于0，则互相垂直；
（2）利用长度相等即模相等，得到关于k，α，β的等量关系，求出α，β的关系，得到它们的正切值关系即可．

解答： 证明：（1）

a

+

b

）（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=cos²α+sin²α-cos²β-sin²β=1-1=0，
所以

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（2）因为k

a

+

b

与

a

-k

b

的长度相等，所以|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，
所以（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得，4kcos（α-β）=0，k为非零常数，
所以α-β=kπ+

π

2

，
α=β+kπ+

π

2

，
tanα•tanβ=tan（β+kπ+

π

2

）•tanβ=-cotβtanβ=-1．

点评：本题考查了向量的运算以及三角函数的基本关系式的运用，属于中档题．