【题目】如图,四棱锥中,底面是平行四边形,在平面上的射影为,且在上,且, ,是的中点,四面体的体积为.
(Ⅰ)求异面直线与所成的角余弦值;
(Ⅱ)求点到平面的距离;
(Ⅲ)若点是棱上一点,且,求的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)先利用等体积法求出的长,在平面内, 过点作交于,连接,则(或其补角)就是异面直线与所成的角,在中利用余弦定理求出此角即可;(Ⅱ)在平面内,过作,交延长线于,则平面推得的长就是点到平面的距离,在利用边角关系求出长; (Ⅲ)在平面内,过作,为垂足,连接,先证明,然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可.
(I)由已知,
∴.
在平面内,过点作交于,连接,则(或其补角)就是异面直线与所成的角.
在中,,
由余弦定理得, ,
∴异面直线与所成的角的余弦值为.
(II)∵平面,平面∴平面平面,
在平面内,过作,交延长线于,则平面∴的长就是点到平面的距离.
∵.
在,,∴点到平面的距离为.
(III)在平面内,过作,为垂足,连接,
又因为,
∴平面,平面,∴.
由平面平面,∴平面∴;
由得: .
∵,∴由可得.
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【题目】如图,已知椭圆,分别为其左、右焦点,过的直线与此椭圆相交于两点,且的周长为8,椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,已知点与点,过的动直线(不与轴平行)与椭圆相交于两点,点是点关于轴的对称点.求证:
(i)三点共线.
(ii).
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【题目】如图,已知圆:,点是圆内一个定点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线与曲线相交于两点(点在两点之间).是否存在直线使得?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费元,则甲、乙下车方案共有多少种?
(2)若甲、乙两人共付费元,求甲比乙先到达目的地的概率.
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【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从某地区随机调查了100个用户,得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | 10 | 0.1 | |
第二组 | 20 | 0.2 | |
第三组 | 40 | 0.4 | |
第四组 | 25 | 0.25 | |
第五组 | 5 | 0.05 | |
合计 | 100 | 1 |
(1)根据上面的频率分布表,估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率;
(2)请由频率分布表中数据计算众数、中位数,平均数,根据样本估计总体的思想,若平均分低于75分,视为不满意.判断该地区用户对产品是否满意?
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【题目】某学习合作小组学习了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆绕轴旋转一周所得到的椭球体的体积,方法如下:取一个底面圆半径为高为的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面,经研究,圆面面积和圆环面面积相等,由此得到椭球体的体积是__________.
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