Question

二面角M-a-N中，点A∈M，点B∈N，AB=4

2

，点A到a的距离是4，点B到a的距离是2

2

，若AB与a所成的角是30°，求二面角M-a-N的平面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：过A作AC⊥a，交a于点C，过B作BD⊥a，交a于点C，连结AD，过B作BE∥DC，过C作CE∥BD，交BE于E，连结AE，则BECD是矩形，人而EC⊥a，进而得到∠ACE是二面角M-a-N的平面角，由此利用勾股定理和余弦定理能求出二面角M-a-N的平面角的大小．

解答： 解：过A作AC⊥a，交a于点C，过B作BD⊥a，交a于点C，连结AD，
过B作BE∥DC，过C作CE∥BD，交BE于E，
连结AE，则AC=4，BD=2

2

，BECD是矩形，
∴EC⊥a，∴∠ACE是二面角M-a-N的平面角，
由已知得AD=

AB2-BD2

=

32-8

=2

6

，
BE=CD=

AD2-AC2

=

24-16

=2

2

，
∵AB与a所成的角是30°，∴∠ABE=30°，
∴AE=

AB2+BE2-2AB•BEcos30°

=2

10-4 3

，
∴cos∠ACE=

AC2+CE2-AE2

2AC•CE

=

6 - 2

2

．
∴∠ACE=arccos

6 - 2

2

．
∴二面角M-a-N的平面角为arccos

6 - 2

2

．

点评：本题考查二面角的平面角的大小的求法，涉及到线面平行、线面垂直的性质的应用，解题时要注意勾股定理、余弦定理的合理运用．