Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为2 π，最小值为-2，且当x=

5π

6

时，函数取得最大值4．
（I）求函数 f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若当x∈[

π

6

，

7π

6

]时，方程f（x）=m+1有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（I）由最小正周期可求ω，又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

，由题意，

5π

6

+φ=2kπ+

k

2

（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可解得φ，即可求得函数 f（x）的解析式；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化为m=3sin（x-

π

3

），由x∈[

π

6

，

7π

6

]，由正弦函数图象可解得实数m的取值范围．

解答： 解：（I）因为f（x）的最小正周期为2π，
得ω=

2π

2π

=1，…1分
又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

，…3分
由题意，

5π

6

+φ=2kπ+

k

2

（k∈Z），
即φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），因为|φ|＜

π

2

，
所以，φ=-

π

3

，…5分
所以f（x）=3sin（x-

π

3

）+1…6分
（Ⅱ）当2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x∈[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]（k∈Z）时，函数f（x）单调递增…9分
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化为m=3sin（x-

π

3

）…10分
因为x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以x-

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…11分
由正弦函数图象可知，实数m的取值范围是[-

3

2

，3]…13分

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．