Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为AB、C₁D₁、DC中点，AB=2，AD=

3

，AC₁=3
（1）求证：C₁E∥平面AFC．
（2）求二面角F-AC-G的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出四边形AEC₁F是平行四边形，由此能证明C₁E∥平面AFC．
（2）由已知得FG⊥平面ABCD，过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，由已知得∠FHG就是二面角F-AC-G的平面角，由此能求出二面角F-AC-G的正切值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵E、F分别为AB、C₁D₁中点，
∴AE∥C₁F且AE=C₁F，
∴四边形AEC₁F是平行四边形，
∴C₁E∥AF，…（3分）
∵AF?平面AFC，C₁E?平面AFC，
∴C₁E∥平面AFC．…（5分）
（2）解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
F、G分别为C₁D₁、DC中点，AB=2 ，AD=

3

 ，AC1=3，
∴FG⊥平面ABCD，…（7分）
过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面FGH，∴GH⊥AC，
∴∠FHG就是二面角F-AC-G的平面角，…（9分）
∵FG=

2

，在△ACG中，GH•AC=AD•CG，
∴GH=

AD•CG

AC

=

3

7

，…（11分）
∴直角三角形FGH中，
tan∠FHG=

FG

GH

=

2

3 7

=

42

3

…（13分）
∴二面角F-AC-G的正切值为

42

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．