Question

设函数f（x）=

1

2

x³-ax+1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）方程f（x）=0有三个不同的解，等价于f（-

2a 3

）＞0，且f（

2a 3

）＜0，即可求实数a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

3

2

x2-a=0，可得
①a＞0时，x=±

2a 3

，
由f′（x）＞0，可得函数的单调增区间为（-∞，-

2a 3

]，[

2a 3

，+∞），单调减区间为[-

2a 3

，

2a 3

]；
②a≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
（II）方程f（x）=0有三个不同的解，等价于f（-

2a 3

）＞0，且f（

2a 3

）＜0，
∴

1

2

（-

2a 3

）³-a（-

2a 3

）+1＞0，且

1

2

（

2a 3

）³-a•

2a 3

）+1＜0
解得a＞

3

2

．

点评：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．